首达 First Passage

硕士论文：受限随机游走中的首达现象

2024–25 年在布里斯托大学读工程数学硕士，以 Distinction 毕业，毕业论文题为《First-Passage Phenomena in Confined Random Walks: Finite-Size Effects, Exact Solutions, and Spatial Heterogeneity》。论文追问：在一维、二维、三维格点上——有缺陷的与没有缺陷的——随机游走者要多久才会第一次抵达目标？精确解与模拟逐一对照，代码全部公开。游走者第一次被关进盒子，就是在这里；这个问题从此再没放下。

布里斯托大学工程数学博士

2025 年 11 月 3 日，在布里斯托大学工程数学与技术学院（SEMT）开始读博。课题是首达时间：随机游走者第一次抵达目标要花多久，以及这段时间的分布为什么会裂成两个峰。第一年里，研究从随机过程延伸到了 AI 智能体的评测。这一页上流动的随机游走，正是论文所研究的那一类对象。

博士研究者

博士第一份代码：带缺陷的环

入学四周内，第一个原型就定好规格并搭了出来：一维带缺陷环上随机游走的 Python 模拟，配分析脚本、参数扫描和一个小小的网页可视化。其中一组参数已经隐约露出双峰的首达直方图。它只是草图，还算不上结论，精确方法到位后便归了档——但它是整条研究线的第一张「婴儿照」。

在 Isambard 超算上计算

2025 年 12 月起，重型计算挂在布里斯托大学一个关于「无序环境中的随机游走者」的项目下，在国家级超算上运行。命令行自动化负责同步代码、提交 SLURM 作业、回收结果。Isambard-AI 承担了相遇论文的连续桥生产——格点梯子一路加密到 n = 33，每个释放位置 2×10⁷ 个布朗粒子；Isambard 3 则在 2026 年 9 月为固定预算论文做大规模检验，其中包括一次 2×10⁹ 个粒子的普查。

带捷径的懒惰环：中英双语报告

环上捷径的研究整理成了中英双语报告：带单向捷径的懒惰环、两种近邻核、对捷径强度 β 与环长 N 的扫描、蒙特卡洛轨迹分类和尾部诊断。结论之一：长时尾部由瞬态链的谱半径决定；β* = 0.01 是两种核同时满足双峰判据的最小捷径强度。一张图上可疑的平台，最后查出是数值反演的截断所致，随即修正——这是后来无数次「不轻信漂亮曲线」的第一次。

从环到二维格点

2026 年，问题从环走到了二维格点：周期、矩形与反射边界的区域，靠近目标的膜，两个相互竞争的目标，局部偏置场，以及两个粒子的相遇。公开研究图谱的 27 份报告里，有 13 份属于这一族。其中一个发现：膜的通透性主要拉长的是「越过之后」的那段时间——这解释了为什么有些几何在偏置极小时，依然保留清晰的双峰。

公开的中英双语研究图谱

2026 年 2 月 25–26 日，首达研究线有了自己的公开网站：一个中英双语的静态研究图谱，包含八章连续阅读的「书」、每份报告的独立页面、理论专章、可交互的图和排好版的公式。它收录 27 份报告，130 条论断都能追溯到证据。背后的仓库按「智能体优先」组织——统一的命令行工具、护栏测试、机器可读的报告登记表——人和 AI 智能体可以用同一种方式在上面工作。

BAMC 2026，诺里奇

参加了 2026 年 3 月 30 日在诺里奇东英吉利大学开幕的英国应用数学年会（BAMC 2026）。这是读博后第一次参加全国性的应用数学会议，也第一次看清首达问题在整个学科版图里的位置。

《首达时间中的隐藏路径》

一场面向 SEMT 各方向博士生的十分钟研究演讲，做成嵌在研究图谱里的自研网页幻灯片，带实时随机游走动画，图全部由研究代码重新生成。一句话主旨：环上只有一个目标，只要加一条有向捷径，就会出现快分支、谷和慢分支。演讲排在 2026 年 4 月 15 日的 SEMT Ideas Exchange Day；中英两版讲稿与幻灯片均已公开。

双峰的三个条件

一份 12 页的综述把这一年的案例串了起来——环上的捷径、双目标格点、两个粒子相遇的精确搜索——并论证：双峰要被看见，三个条件缺一不可：快慢两条通道的质量相当，时间尺度拉得开，谷深到分辨得出。2026 年 5 月 31 日，图谱里又多了一个关于多时间尺度相遇的演讲页，附二维跳跃的实时演示。

那个会自己消失的项

对带对径捷径的懒惰环，首达分布的长时尾部里曾被怀疑藏着一个 t·αᵗ 项。它并不存在。三条互相独立的论证都表明其系数恒为零：一是部分分式的求和规则；二是指出它源自生成函数反演中边界切片的伪影；三是谱论证——瞬态矩阵对称、可以对角化，因此无论参数取什么，都不会出现 t·λᵗ 这样的项。所有恒等式都在 50 位精度的算术和精确有理数核下逐一核对。

第二个峰为何出生，又为何消失

环上的双峰被做成了一套阈值理论。指向吸收目标的有向捷径，行为上就是一个秩一的吸收缺陷；在扩散极限下，问题变成区间上的布朗运动，内部带一个强度为 b 的汇。此时首达密度是若干谱模的带符号叠加，晚峰在 b = b_c(θ) 处经鞍结折叠消失——对称情形下约为 3.0764——折叠指数为 1/2 与 3/2，而且至少需要三个谱模。结论经过五种方式交叉验证：精确格点留数、4×10⁵ 个粒子的蒙特卡洛、精确通道分解、布朗动力学，以及有限的二维格点。

工作论文：相遇–反应模型的谱诊断

一篇单作者工作论文：在有限模型里，两个一碰即反应的扩散粒子，什么时候会出现不止一个反应时间峰？所用的工具包括：把问题约化到反应支撑上；一个符号计数门槛（m 个峰至少需要 2m − 1 次留数符号变化）；对固定反应度预算做再分配的精确响应；以及由加密二维格点梯子与离格布朗动力学搭起的连续桥。最核心的结论是：粗网格上看到的折叠，在连续极限下会逃逸到可行域的边界。另有一项进行中的工作，研究带多个反应区的相遇。

为自己的论文做一门交互课

为了从地基处读懂折叠论文，专门围绕它做了一门单文件的离线课程：共十章，从本科的数学分析和高等代数讲起，用粒子直方图建立双峰直觉，讲清负的模态权重怎样「造」出峰，最后用一根可拖动的 b 滑条现场把鞍结折叠「掰断」。每章都配自测。它是自学工具而非教学材料——也是本章交互讲解的种子。

46 条定理，由机器核验

折叠论文的精确代数层——Chebyshev 乘积恒等式、Green 函数的列、秩一行列式、分裂概率的闭式、跳变条件、正规形前因子 4√2/3，以及最小三模定理——用 Lean 4 与 mathlib 完成形式化：七个模块共 46 条定理，没有一个 sorry，只依赖 Lean 的三条标准公理。数值常数与解析极限有意划在形式化范围之外，改用数值方法验证。

几何控制的折叠——投稿 Physical Review E

《Geometry-controlled folds of first-passage-time bimodality under localized absorption》于 2026 年 7 月 30 日以单作者常规论文投稿 Physical Review E。这是读博期间的第一篇论文，也是双峰研究线的收官：局域吸收体的几何，决定了第二个到达峰是否存在；而峰的消失，经由一个可以精确算出位置的鞍结折叠。本站所有展示这一现象的图，都出自我们自己的模拟，而非取自稿件。

给峰的个数编程

对被催化条带扫过的反应布朗粒子对，2026 年 8 月的第一个定理证明：足够小的催化预算分到 m 条条带上，恰好产生 m 个反应时间峰。随后跑了约 3.25 亿个模拟粒子来检验：两条带相图的 48 个格子全部恰好双峰；五峰演示把五个峰准确放在了设计好的时刻；三维抽查结论不变。可行预算的显式下界随后被收紧了 692 个数量级，有限维核心也用 Lean 4 完成形式化（138 条经审计的声明，零 sorry）。

prescribed-reaction-time-modes：公开复现仓库

固定预算论文背后的一切，都公开、可核验：模拟、分析与绘图代码，机器可读的数值记录，区间算术证书，Lean 4 源码，以及 Isambard 3 的作业记录，全部用 SHA-256 清单锁定。2026 年 9 月 8 日至 26 日，随论文重建先后发布了五个版本；最新版约 1,466 个文件，含 100 个 Python 脚本、27 个 Lean 文件和 1,198 份 JSON 记录。任何人都能自己复跑，无需向谁申请。

可编程多峰——稿件准备中

《Programmable multimodality and saddle-node loss of reaction-time peaks under a fixed catalyst budget》是一篇准备中的单作者稿件。把固定量的静态催化剂切成细条带，沿反应布朗粒子对的路径铺开，就能「编排」反应时间密度：弱噪声下，每条条带移走到达粒子对中的固定比例——一种折棍律——于是每条条带恰好对应一个峰；给定峰的时刻与权重，相应的设计存在、局部唯一，并可用牛顿法求出。若条带宽度固定，晚峰则可能经鞍结分岔丢失，其非退化条件在测试算例中由区间算术认证。有限维与微积分核心由 Lean 4 检查，随机部分为手写证明。